Question

已知数列{an}满足a1=2,a2=1,且an-1-an除以an-1=an-an+1除以an+1（n≥2），则这个数列的第十项等于（ ）

Answer 1

An-1-An/An-1=An-An+1/An+1

An/An-1+An/An+1=2

1/An-1+1/An+1=2/An

设1/An=Bn
则Bn-Bn-1=Bn+1-Bn
B1=1/2 B2=1所以B2-B1=1/2
B3-B2=1/2 B4-B3=1/2 一次类推
最终Bn=B1+（n-1）1/2=n/2=1/An
An=2/n A10=1/5

Answer 2

[a(n-1)-a(n)]/a(n-1) = [a(n)-a(n+1)]/a(n+1), a(n)不为0。

1 - a(n)/a(n-1) = a(n)/a(n+1) - 1,
0 = a(n)/a(n+1) + a(n)/a(n-1) - 2,
0 = 1/a(n+1) + 1/a(n-1) - 2/a(n),
1/a(n+1)-1/a(n) = 1/a(n) - 1/a(n-1),
{1/a(n+1)-1/a(n)}是首项为1/a(2) - 1/a(1) = 1/1 - 1/2 = 1/2,的常数数列。
1/a(n+1)-1/a(n) = 1/2,
1/a(n+1) = 1/a(n) + 1/2.
{1/a(n)}是首项为1/a(1) = 1/2, 公差为1/2的等差数列。
1/a(n) = 1/2 + (n-1)/2 = n/2,
a(n) = 2/n.

a(10) = 2/10 = 1/5