Question

在△ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，已知2acosA=bcosB+ccosC

（1）求A的大小 （2）求cosB-√3sinC的取值范围
写错了……是2acosA=bcosC+ccosB

Answer 1

解由2acosA=bcosC+ccosB
得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB
即2sinAcosA=sin（B+C)
即2sinAcosA=sinA
即2cosA=1
即cosA=1/2,
即A=60°
2 有1知，B+C=120°
cosB-√3sinC=cos（120°-C)-√3sinC
=cos120°cosC+sin120°sinC-√3sinC
=-1/2cosC+√3/2sinC-√3sinC
=-1/2cosC-√3/2sinC
=-(sin30°cosC+cos30°sinC)
=-sin（C+30°）
由0°＜C＜120°
即30°＜C+30°＜150°
即1/2＜sin（C+30°）＜1
即-1＜-sin（C+30°）＜-1/2
即cosB-√3sinC的范围是（-1，-1/2)

Answer 2

2acosA=bcosB+ccosC，
由正弦定理，2sinAcosA=sinBcosB+sinCcosC=(1/2)(sin2B+sin2C)
=sin(B+C)cos(B-C),
sin(B+C)=sinA>0,
∴2cosA=cos(B-C),
请检查题目

Answer 3

2acosA=bcosC＋ccosB
2sinAcosA=sinBcosC＋sinCcosB
2sinAcosA=sin(B＋C)
2sinAcosA=sinA
cosA=1/2
则：A=60°
cosB－√3sinC
=cos(120°－C)－√3sinC
=－(1/2)cosC＋(√3/2)sinV－√3sinC
=－(1/2)cosC－(√3/2)sinC
=－sin(C＋30°)
因为：30°<C＋30°<150°
则：cosB－√sinC∈(－1，－1/2)