Question

如图所示,AB是圆O的直径,P为AB延长线上一点,PD切圆O于点C,且AD⊥PD。BC和AD的延长线相交于点E

当AB:BP为何值时，△ABE为等边三角形？并说明理由。

Answer 1

当AB:BP=1：1时，△ABE为等边三角形
理由，
连OC，
因为PC是圆的切线
所以OC⊥PC,
当AB:BP=1：1，即AB=BP时，OC=OP/2
所以∠P=30°
所以 ∠COP=60°
因为OC=OB
所以△OBC是等边三角形
所以∠OBC=60°
因为AD⊥DP
所以AD∥OC
所以∠A=∠COB=60°
所以△ABE是等边三角形

Answer 2

解：
连接CO,由已知条件得到∠PCO=∠PDA=90°，所以CO//AD，如果△ABE为等边三角形，△ABE为等边三角形，则∠PAE=60°，那么在△PAD当中PA=2AD,我们设圆半径为1，BP=X,因为CO//AD，根据比例线段定义有以下结论：CO/AD=PO/PA，即1/[(x+2)/2]=x+1/x+2，得到PB=X=1，所以当AB:BP=2:1时△ABE为等边三角形，解毕