Question

等差数列前n项和最值问题 要详解

1.已知等差数列(an),a1<0,S10=S20,则这个数列的前（ ？ ）项的和最小 2.设等差数列（an）满足a1=23,a6>0,a7<0,公差d是整数 (1)求d （2）求n是多少时，Sn最大

Answer 1

a(n)=a+(n-1)d, a=a(1)<0.
s(n)=na+n(n-1)d/2,
s(10)=10a+45d=s(20)=20a+190d,
0=10a+145d=5[2a+29d], d=-2a/29>0.
{a(n)}单调递增。
0=2a+29d<2a+30d=2[a+15d]=2a(16),
0=2a+29d>2a+28d=2[a+14d]=2a(15),
a(15)<0<a(16)。
n<=15时，a(n)<0.
1<=n<=14时，0>a(n+1)=s(n+1)-s(n), s(n)>s(n+1), {s(n),1<=n<=15}单调递减，s(n)>=s(15).
n>=16时，a(n)>0.
15<=n时，0<a(n+1)=s(n+1)-s(n), s(n+1)>s(n),{s(n),n>=15}单调递增，s(n)>=s(15)
因此，总有s(n)>=s(15).
这个数列的前（15）项的和最小。

2
a(n)=23+(n-1)d, d 为整数。
0<a(6)=23+5d, d > - 23/5
0>a(7)=23+6d, d < - 23/6.
d=-4.

a(n)=23-4(n-1).
{a(n)}单调递减。
0<a(6),所以，n<=6时，a(n)>0.
0>a(7),所以，n>=7时，a(n)<0.
1<=n<=6时，a(n)>0,
1<=n<=5时，0<a(n+1)=s(n+1)-s(n), s(n+1)>s(n), {s(n),1<=n<=6}单调递增。s(n)<=s(6).
n>=7时，a(n)<0.
n>=6时，0>a(n+1)=s(n+1)-s(n), s(n+1)<s(n),{s(n),n>=6}单调递减。s(n)<=s(6).
因此，总有s(n)<=s(6)
n=6时，s(n)最大。

Answer 2

解：由题意：10（a1+a10）÷2=20（a1+a20）÷2
即5a1+5a10=10a1+10a20
a1+a10=2a1+2a20
a1+a1+9d=2a1+2a1+38d
a1=（-29÷2）d
故An=a1+（n-1）d=（n-31/2）d
Sn=（a1+an）/2=（n²-30n）d 当n=30时Sn最小值为0
a1=23，a6>0,a7<0,公差d是整数（1）：a6=a1+5d＞0，
a7=a1+6d＜0，所以a1＞-5d，a1＜-6d.且d为整数
因此：d=-4 An=27-4n
Sn=n（a1+an）/2=-2n²+25n （n属于整数）
当n=25/4及n=6时 Sn最大