Question

高中解析几何椭圆中的三角形面积问题

Answer 1

由三角形面积公式S ＝ 1／2＊sinC*ab
由于S1,S2两个三角形有一个对顶角公共，所以面积比等于边的乘积的比，即:
S1/S2 = AF*MF/BF*NF
为方便起见，设M为左端点，N为右端点，F为右焦点，

注意到MF/NF = (a+c)/(a-c) 是定值。下面只要求AF/BF的取值。
利用极坐标极易说明，当A从N运动到M点时，AF增大，此时相应地B从M到N，BF减小，于是AF/BF是减小的。
所以当A趋向于N（同时B趋向于M，由共线条件）时AF/BF最小，为(a-c)/(a+c)，同理最大是(a+c)/(a-c)。
于是(a+c/a-c)^2 >S1/S2 > 1。
当F是左焦点时，1>S1/S2 > (a-c/a+c)^2
如果规定A,B不能与M,N重合时，等号是取不到的。

另外我默认你这里是a>b。因为a<b的时候，S1/S2是可以取到任意正实数的

Answer 2

设AB直线方程是：y=k(x-c)，其中c²=a²-b²
将y=k(x-c)代入椭圆方程，得：x²/a² + k²(x-c)²/b²=1
化简得：(a²k²+b²)x² - 2a²k²c*x + a²(k²c²-b²)=0
则A，B的横坐标分别是：[ a²k²c ± ab²√(k²+1)] /(a²k²+b²)
则A，B的纵坐标分别是：y1 = k(x-c)
= k [a²k²c + ab²√(k²+1) - c(a²k²+b²)] /(a²k²+b²)
= kb² [a√(k²+1) -c]/(a²k²+b²)
y2 = kb² [-a√(k²+1) -c]/(a²k²+b²)
S1/S2= |y1/ y2| = | [a√(k²+1) -c] /[a√(k²+1) +c] |
= | a²(k²+2)-b²- 2a√[(a²-b²)(k²+1)] |/(a²k²+b²)

追问

不是S1/S2等于多少，是给出S1/S2的取值范围

追答

上面算式有误，修改如下:
S1/S2= |y1*/ y2| *(a+c)/(a-c)
= (a+c)/(a-c)* [a√(k²+1) -c] /[a√(k²+1) +c]
= [ a(a+c)√(k²+1) -ac-c²] /[ a(a-c)√(k²+1) +ac-c²]

得到的算式最好提供a,b的数值，否则算起来太麻烦。

追问

就是把a,b当成常数算，最后得到关于a,b的表达式

追答

请另选高明吧，我觉得太麻烦。

Answer 3

首先我得说这得分两种情况
我只为你做焦点在x轴的情况

(1/2,1)

当然以焦点在y轴情况又不一样了

Answer 4

追问

S1/S2的具体范围呢？