Question

高中数学，解析几何问题（椭圆内三角形面积最大值）

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/f97f6912-54cb-4cdd-b84a-f9adfa0fbe99

第二小问的最大值，疑问：为什么不用考虑斜率不存在的情况，好像斜率不存在时算得面积为1/2，比答案还大，是不是答案漏情况了，还是哪里的问题？求解答。

Answer 1

楼主应该算错了，斜率不存在的时候，AB的方程是：x=12/5，此时S=9/25<3/8；
如果直线设成y=kx+b的形式，是要考虑斜率不存的
但解题者设的是：x=ky+m，这种直线方程已经包含竖直的直线了。

追问

嗯嗯，我看太快看错解题者所设了，是不用考虑斜率的。

Answer 2

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/b76d68cb-9a29-44f5-9809-885ebe9cfe24
看这个 如果你对斜率不确定 也可以设成x=ky+m啊

Answer 3

郭敦顒回答：
（1）椭圆M的方程是x²/a²+y²/b²=1
离心率e=c/a=（2/3）√2，c²=a²－b²，
椭圆上一点与两焦点所成三角形的周长为6+4√2，因椭圆内三角形面积为最大值，所以椭圆上三角形的另一点为椭圆的上顶点（或下顶点），则
2a+2c=6+4√2
∵c/a=（2/3）√2，∴c=（2/3）a√2代入上式得，
2a+（4/3）a√2=6+4√2
∴a=（6+4√2）/[2+（4/3）√2]=11.65685/3.88562=3，∴a=3，
解得，c²=8，
∵c²=a²－b²，∴ b² =a² －c²=9－8=1，b=1
∴椭圆M的方程是x²/9+y²/1=1
（2）△ABC为Rt⊿，∠ACB=90°，AB为圆O的直径，Rt⊿ABC面积最大时，
AB⊥X轴。圆心O在X轴上，OA=OB=OC，设点A的坐标是A（x，y），
∴x²/9+y²/1=1
AC的方程是y= x+3
∴x²/9+（x+3）²/1=1，x²+9x²+54x+72=0
10x²+54x+72=0，x1=（－54+6）/20=－2.4，x2=－3，不合题意舍去。
∴OA=OB=OC=|－3|－|－2.4|=0 .6
△ABC面积=2×0.6×0.6/2=0.36
直线L的方程是x=－2.4，直线L⊥X轴，直线L∥Y轴，直线L没斜率。
解此题的关键是因椭圆内三角形面积为最大值，所以椭圆上三角形的另一点为椭圆的上顶点（或下顶点）。