Question

水以20m^3/min的速度流入一圆锥形容器,设容器深30m,上底直径为12m,试求当水深10m时,水面上升的速度

水以20m^3/min的速度流入一圆锥形容器,设容器深30m,上底直径为12m,试求当水深10m时,水面上升的速度

Answer 1

已知：U＝20立方米 / 分钟＝（1 / 3）立方米 / 秒　，H＝30米，D＝12米，h＝10米
求：V
解：从题意知，圆锥形容器的上底面是水平的（否则就缺少条件了）。
设容器中原来无水，经时间 t ，注入容器的水的水面离圆锥的顶点（最低点）高度是 y ，
那么　U * t ＝S* y / 3　，S是此时水面的面积
由相似三角形知识　得　水面直径是　d＝D y / H
所以　S＝π* ( d / 2 )^2
即　U * t ＝π* ( d / 2 )^2 * y / 3＝π * D^2 * y^3 / ( 12*H^2 )
得　y^3＝[ 12 U *H^2 / (π* D^2 )] * t 　　　－－－－方程1
即　y ＝[ 12 U *H^2 / (π* D^2 )]^(1/3) * t^(1/3)
显然，水面的高度 y 对注入水的时间 t 的导数，就等于水面上升的速度
即水面上升的速度是　V＝dy / dt ＝ [12 U*H^2 / (π* D^2 )^(1/3) * (1/3)* t^(-2/3)
即　V＝[4 U*H^2 / (π* D^2 )^(1/3) * t^(-2/3)　－－－方程2
当水深　y＝h＝10米时，注入水的时间是
t＝h^3 / [ 12 U *H^2 / (π* D^2 )]　　　（由方程1得到）
所以此时水面上升速度是　V＝[4 U*H^2 / (π* D^2 )^(1/3) * { h^3 / [ 12 U *H^2 / (π* D^2 )] }^(-2/3)
＝(576)^(1/3) * U * H^2 / ( π* D^2* h^2 )
＝(576)^(1/3) * （1 / 3） * 30^2 / ( 3.14 * 12^2* 10^2 )
＝0.0552 米 / 秒

注：各量的单位统一用国际单位制的单位。