Question

abc为正数，且a+b+c＝1，求证（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）≥64

Answer 1

证明本题要用到均值不等式（正数的算术平均值>=它的几何平均值）：

（a+b+c+d）/4>=(abcd)^(1/4)

（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）

=((a+1)/a) ((b+1)/b) ((c+1)/c)

=(a+1)(b+1)(c+1)/(abc)

=(a+ a+b+c)(b+ a+b+c)(c+
a+b+c)/(abc)

=(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)

= 64((a+a+b+c)/4)((b+a+b+c)/4)((c+a+b+c)/4)

>=64 (aabc)^(1/4) (babc)^(1/4)
(cabc)^(1/4)

=64(abc*abc*abc*abc)^(1/4)

=64

所以：（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）≥64

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Answer 2

左边=(a+b+c+abc+ab+bc+ac+1)/abc=1+(2/abc+1/a+1/b+1/c)
下面证明：
1.
abc<=[(a+b+c)/3]^3=1/27
2/abc>=54

2.
1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b>=9

以上等号成立条件均为三者相等
三式相加即可。

Answer 3

a+b+c=1≥3(abc)^1/3

abc≤1/27 1/abc≥27

(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)

=1/a+1/b+1/c+1/ab+1/bc+1/ac+1+1/abc≥3(1/abc)^1/3+3
(1/abc)^2/3+1/abc+1=64

所以(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)≥64得证