Question

问一个线性代数的问题

a+b ab 0 …… 0 0
1 a+b ab…… 0 0
0 1 a+b …… 0 0
0 0 0…… a+b ab
0 0 0 …… 1 a+b a≠b,证明n阶行列式=(a^(n+1)-b^(n+1))/a-b

Answer 1

证明:行列式记为Dn.
按第1列展开得: Dn=(a+b)D(n-1) - abD(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时, D1=a+b
[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)=(a^2-b^2)/(a-b)=a+b
所以n=1时结论成立.
假设k<n时结论成立, 则k=n时
Dn=(a+b)D(n-1) - abD(n-2)
=(a+b){[a^(n-1+1)-b^(n-1+1)]/(a-b)} - ab{[a^(n-2+1)-b^(n-2+1)]/(a-b)}
=(a+b){[a^n-b^n]/(a-b)} - ab{[a^(n-1)-b^(n-1)]/(a-b)}
= [a^(n+1)-b^(n+1)-ab^n+ba^n-ba^n+ab^n]/(a-b)
= [a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
所以k=n时结论也成立.
综上可知, 对任意自然数n, Dn=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b).

Answer 2

解: 按第1列展开
Dn=(a+b)D(n-1)-abD(n-2) //这个abD(n-2)需要再展开一次（第一行展开，后面那个为0）
所以
Dn-aD(n-1)
= b(D(n-1)-aD(n-2))
= b^2(D(n-2)-aD(n-3))
= ...
= b^(n-2)(D2-aD1)
= b^(n-2)[(a+b)^2-ab - a(a+b)]
= b^(n-2)[a^2+ab+b^2-a^2-ab)]
= b^n.
即有 Dn = b^n+aD(n-1)
所以
Dn
= b^n+aD(n-1) = b^n+a(b^(n-1)+aD(n-2))
= b^n+ab^(n-1)+a^2D(n-2)
= ...
= b^n+ab^(n-1)+a^2b^(n-2)+...+a^(n-2)b^2+a^(n-1)D1
= b^n+ab^(n-1)+a^2b^(n-2)+...+a^(n-2)b^2+a^(n-1)b+a^n
若 a≠b, 则 Dn = [a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
若 a=b, 则 Dn = (n+1)a^n

Answer 3

你这个行列式写错了，你的意思是不是中间全是a+b. 然后左下方全是1,，右上方全是ab

Answer 4

提示：自然归纳法

追问

详细一点吧。。。

追答

在火车上，带我回去给你看，这个好像做过。