一道数学题,求高手解答
若不等式1≤ax^2-2x-3≤2的解集中只有一个元素,则实数a的值为_______;若不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解,则实数a的值为________....
若不等式1≤ax^2-2x-3≤2的解集中只有一个元素,则实数a的值为_______;若不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解,则实数a的值为________.
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如果令y=ax²-2x-3
那么1≤ax^2-2x-3≤2就变成1≤y≤2
要想解集中只有一个元素,就必须使抛物线与红色区域只有一个交点,如下图两种情况,就满足
抛物线与区间1≤y≤2只有一个交点啦
第一幅图,抛物线开口向下,于是a<0,还有最大值等于1
也就是【4a×(-3)-(-2)²】/(4a)=1
解得a=-1/4<0满足
第二附图,抛物线开口向上,还有最小值等于2
【4a×(-3)-(-2)²】/(4a)=2
解得a=-1/5<0,但开口向上,所以舍去
综上所述a=-1/4
要想无解
只要最小值>2
即【4a×(-3)-(-2)²】/(4a)>2
解得a<-5
还要最大值小于1
即【4a×(-3)-(-2)²】/(4a)<1
解得
a>-1/4
于是a范围就是
-1/4<a<-1/5
更多追问追答
追问
解集中只有一个元素是什么意思
追答
就是像我画的图的黑点
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解:(1)∵不等式1≤ax^2-2x-3≤2的解集中只有一个元素
∴①a>0时,ax²-2x-3≤2的△=4+20a=0∴a=-1/5不合,舍去
②a<0时,ax²-2x-3≥1的△=4+16a=0∴a=-1/4
∴若不等式1≤ax^2-2x-3≤2的解集中只有一个元素,则实数a的值为-1/4
(2))∵不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解
∴①a>0时,ax²-2x-3≤2的△=4+20a﹤0∴a﹤-1/5不合,舍去
②a<0时,ax²-2x-3≥1的△=4+16a﹤0∴a﹤-1/4
∴若不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解,则实数a的值为a﹤-1/4
∴①a>0时,ax²-2x-3≤2的△=4+20a=0∴a=-1/5不合,舍去
②a<0时,ax²-2x-3≥1的△=4+16a=0∴a=-1/4
∴若不等式1≤ax^2-2x-3≤2的解集中只有一个元素,则实数a的值为-1/4
(2))∵不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解
∴①a>0时,ax²-2x-3≤2的△=4+20a﹤0∴a﹤-1/5不合,舍去
②a<0时,ax²-2x-3≥1的△=4+16a﹤0∴a﹤-1/4
∴若不等式1≤ax^2-2x-3≤2无解,则实数a的值为a﹤-1/4
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由只有一个元素可知不等式只有一个解,当a=0时不成立,所以ax^2-2x-3=1或ax^2-2x-3=2的Δ=0,即4+16a=0或4+20a=0。
对于第二个,当a=0时不成立,用穿根法解
对于第二个,当a=0时不成立,用穿根法解
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当a=0时不成立,所以ax^2-2x-3=1或ax^2-2x-3=2的Δ=0,即4+16a=0或4+20a=0。
对于第二个,当a=0时不成立,用穿根法解
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-1/4<a<-1/5
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