Question

等价无穷小

lim(xsin(1/x))=0 (x趋近于0) lim((1/x)sinx)=1 (x趋近于0) 为什么后者可以用等价无穷小替换sinx，前者不可以？ 等价无穷小替换的条件是什么，怎么有时候x不趋近于0也可以替换？ 求帮助，谢谢！

Answer 1

解：
当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(1/x)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

根据上述定义，当limf(x)/g(x)=1时，则f(x)与g(x)是等价无穷小。
因此：
根据上述定义：
1）等价无穷小一定要首先趋近于0，这趋近的主体不一定是自变量，是因变量也是成立的；
2）等价无穷小替换必然是在整体极限存在的情况下，而不能是党极限不存在时，就不能用等价不穷小，例如：lim(x→0) [sin(1/x) / x]，该极限中，sin(1/x)极限是不存在的，况且，1/x在自变量趋近于0时，它不趋近于0，更就不能等价无穷小替换了！

Answer 2

你应该可以替换，只不过第一个就变成了lim(xsin(1/sinx)),x趋于0，至于这个等于0是因为0乘有界，而不是等价无穷小。看一下x/sinx在x趋于0那里极限为1的推导吧，会有帮助。

另外说一个形象的，所谓等价无穷小，可以说是导数同阶，两个不同函数的曲线在极限区间里切线是平行的。没有必要时趋近于0的区间，任何小区间都适用。

Answer 3

x趋于0时,前者的1/x是趋于无穷的,所以当然不能用等价无穷小替换
我想你所说"怎么有时候x不趋近于0也可以替换？"那是因为虽然x不趋于0,但函数中的表达式是趋于0的吧.比如sin(1/x)(x趋于无穷),虽然x趋于无穷,但其中的1/x趋于0,所以它能用1/x代替