Question

已知a∈R，函数f（x）=x^2（x-a）

（1）当a=3时，求f（x）的零点 （2）求函数y=f（x）在区间［1，2］上的最小值。 大神们解的详细点吧。

Answer 1

当a=3时，f（x）=x²（x-3）
要f（x）,0于是x²（x-3）=0，
从而x=0或x=3
于是零点就是x=0,和x=3
(2)对f(x)求导
f(x)=x³-ax²
于是f'(x)=3x²-2ax=x(3x-2a)
令f'(x)=0
于是x(3x-2a)=0，解得x=2a/3,x=0
①当2a/3≤0那么f(x)在区间［1，2］上单调递增
于是f(x)min=f(1)=1²×（1-a)=1-a
②当2a/3≥2,那么f'(x)在区间［1，2］恒小于0，
于是f(x)在区间［1，2］上单调递减
于是f（x)min=f(2)=2²×（2-a)=8-4a
③当0<2a/3<2时
函数f(x)在区间【0，2a/3）递减，在【2a/3，2】递增
于是最小值
f(x)min=f(2a/3)=(2a/3)²×（2a/3-a)=-4a³/27

Answer 2

（1）a=3，f(x)=x²(x-3)，零点（f(x)=0）：x=0、x=3；
（2）f‘(x)=3x²-ax=3x²-3x，极值点 x=0，x=1，区间[1,2]属于函数f(x)的单调增加区间（f'(x)≥0），函数的最小值是f(1)=1²*(1-3)=-2；

Answer 3

f(x)min=f(2a/3)=(2a/3)²×（2a/3-a)=-4a³/27