Question

已知函数f（x）＝e^x（ax^2－2x＋2），其中a＞0

（1）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线与直线x＋e^2y－1＝0垂直，求实数a的值 （2）讨论f（x）的单调性

Answer 1

解：1、
因为f(x)=e^x(ax²-2x+2)
所以f`(x)=e^x(ax²-2x+2)+e^x(2ax-2)=e^x[ax²+(2a-2)x]
f`(2)=e²(6a-2)
即曲线y＝f（x）在x＝2处的切线的斜率是f`(2)=e²(6a-2)
直线x＋e^2y－1＝0的斜率是-1/e²
由题意有e²(6a-2)*(-1/e²)=-1
解得a=1/3
2、由f`(x)=e^x[ax²+(2a-2)x]>0
因为e^x恒为正值
即ax²+(2a-2)x>0
即ax[x+(2a-2)/a]>0
当(2a-2)/a>0时，即a>1
不等式ax[x+(2a-2)/a]>0解集是x>0或x<(2-2a)/a
当(2a-2)/a<0时，即a<1
不等式ax[x+(2a-2)/a]>0解集是x<0或x>(2-2a)/a
于是
当a>1时，f(x)在（-∞，(2-2a)/a）∪（0，+∞)是增函数，在（(2-2a)/a，0）是减函数
当a<1时，f(x)在（-∞，0）∪（(2-2a)/a，+∞)是增函数，在（0，(2-2a)/a）是减函数

Answer 2

图片得转一下才能看= =

最近有点脑抽，字丑莫嫌。。