Question

请问各位，为什么无界函数的积分也就是瑕积分，不论在区间(a，b]，还是[a，b)上时，其都是存在一ε>0

并且有，当ε→0+时，lim∫(a，b-ε)f(x)dx的表现形式呢？换句话说，为什么ε一定要从0的右侧趋近呢？左侧难道不行？
刚刚学到反常积分这块，恳请各位前辈高人指点~
谢谢

Answer 1

原因也很简单，在Riemann意义下积分的必须是有界函数。所以在定义瑕积分时就想了一个办法：因为f(x)对于每个ε>0，在[a,b-ε]上都是有界的（假设只有b是唯一的瑕点）,这样f(x)在[a,b-ε]上的积分就可以定义。然后我们把区间[a,b-ε]向[a,b]逼近，如果极限存在，就记作[a,b]上的瑕积分。
极限号中的东西必须先有定义，才能求极限，如果你允许ε从左侧逼近，即ε<0，那么在区间[a,b-ε]上就含有b这个没有意义的点，如何积分？
当然你可以写成ε->0-, lin [a,b+ε]f(x)dx。注意极限号里面的积分区间始终不能包含b点！