Question

若点P在直线x+y=1上 点Q在曲线1/x+1/y=1上 则PQ的取值范围

答案是
求具体过程

Answer 1

解：

由曲线1/x+1/y=1可得

x、y≠0且x、y≠1

整理得y=1+1/(x-1)

Q在曲线上

可令Q(1+m，1+1/m)

其中m≠-1、0

整理直线x+y-1=0

P在直线上，令Q到直线距离为d，则

PQ≥d=|1+m+1+1/m-1|/√2=|m+1/m+1|/√2≥||m+1/m|-1|/√2=||m|+1/|m|-1|/√2≥|2-1|/√2=√2/2    ①

即PQ≥√2/2，以下考察能否取“=”

若能取“=”，则①中三个“≥”要能同时取到“=”

其中

第一个“≥”取“=”取垂线段即可，没有对m取值的限制

第二个“≥”取“=”要满足m＜0（由绝对值不等式取“=”条件可知m+1/m与1异号，推之可得）

第三个“≥”取“=”要满足|m|=1/|m|，结合上一行m＜0得m=-1，而m≠-1，故不能取到“=”。

于是PQ＞√2/2

注：如果作为解答题，可以如上解答，其中涉及解析几何基础知识、点到直线距离公式、绝对值不等式、均值不等式等知识点，有一定难度。如果只是填空题，可以用数形结合思想通过画图和简单计算得出，当然，这需要对函数图象熟练的掌握和理解，如下图

由整理结果y=1+1/(x-1)可得1/x+1/y=1的图象为红线部分（注意原点要抠除），由图象可知PQ大于图中蓝线段，易得蓝线段长√2/2，于是PQ＞√2/2（原点抠除所以取不到等号），这样解决填空显得简捷。

最后，祝学习愉快，呵呵。