Question

已知函数f（x）=1-x/ax +lnx ，若函数f（x）在【1，+oo）上为增函数，求正实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=(1-x)/ax + lnx （x>0）
f‘= -ax-a(1-x)]/a²x² +1/x
=（ax-1）/ax²
根据题目意思可以判断出【1，+oo)一定是f'>0解集的子集
当a>0时， 不等式解集为 {x|x>1/a}
要使得【1，+oo)一定是f'>0解集的子集，则有1/a <=1
因此a>=1
当a<0时， 不等式解集为 {x|x>1/a},，显然【1，，+oo）为子集

因此a>=1或者a<0

Answer 2

由lnx得x得取值范围是（0，正无穷），
因为lnx在【1，+oo）上为增函数，所以最主要的是要使（1-x）/ax为增函数，
所以1/ax-1/a要为增函数，所以a<0

Answer 3

1-x在定义域内是减函数，所以ax+lnx必须是减函数。因为lnx在定义域内是增函数，所以ax在定义域内是减函数，x=1时,lnx=0,所以a>0