Question

一道六年级奥数题

任意给定2013个自然数，证明其中必有若干个自然数，和是2013的倍数（单独一个数也可当作和）。

Answer 1

记这2013个数为a1,a2, ... , a2013
令Sn = a1 + ... + an (n=1, 2, ... , 2013)
即Sn为an的前n项和
这样可以得到S1, S2, .., S2013共2013个数。
若其中有某个Sk为2013的倍数，则a1+a2+...+ak的和为2013的倍数，结论得证。
若其中不存在这样的sk，则S1, S2, .., S2013这2013个数除以2013的余数必为1至2012中的某一个。
一共有2013个数，但余数只有2012种情况，根据抽屉原理，至少有两个数除以2013的余数相同，不妨记为sp和sq，并假设p<q。
于是sq-sp的差除以2013的余数为0，即它们的差为2013的倍数。
于是a(p+1)+a(p+2)+... +aq 这(q-p)个数的和为2013的倍数，结论得证。
所以，任意给定2013个自然数，其中必有若干个自然数，和是2013的倍数

Answer 2

记这2013个数为a1,a2, ... , a2013
令Sn = a1 + ... + an (n=1, 2, ... , 2013) 即Sn为an的前n项和
这样得到S1, S2, .., S2013共2013个数。
若其中有某个Sk为2013的倍数，则a1+a2+...+ak的和为2013的倍数，证毕。
若其中不存在这样的sk，则S1, S2, .., S2013这2013个数除以2013的余数必为1至2012中的某一个，有2013个数，但余数只有2012种情况，根据抽屉原理，至少有两数余数相同，记为sp和sq并假设p<q。
于是sq-sp除以2013余数为0，即为2013的倍数。
于是a(p+1)+a(p+2)+... +aq 这(q-p)个数的和为2013的倍数，证毕。