已知x-y=2+a,y-z=2-a,且a²=7,试求x²+y²+z²-xy-yz-zx的值
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解:(1)∵x-y=2+a,y-z=2-a,
∴x-z=4,
∴(x-y)2+(y-z)2+(x-z)2=(2+a)2+(2-a)2+42,
即x2-2xy+y2+y2-2yz+z2+x2-2xz+z2=4+4a+a2+4-4a+a2+16,
整理得,2(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=2(a2+12),
∵a2=7,
∴x2+y2+z2-xy-yz-zx=7+12=19;
(2)设因式分解的另一个因式为x2+ax+b,
则(2x+3)(x2+ax+b)=2x3+2ax2+2bx+3x2+3ax+3b=2x3+(2a+3)x2+(2b+3a)x+3b=2x3-x2-13x+k,
所以
2a+3=-12b+3a=-13k=3b
,
解得
a=-2b=-72k=-212
,
所以,4k2+4k+1=(2k+1)2=[2×(-
21
2 )+1]2=(-20)2=400.
∴x-z=4,
∴(x-y)2+(y-z)2+(x-z)2=(2+a)2+(2-a)2+42,
即x2-2xy+y2+y2-2yz+z2+x2-2xz+z2=4+4a+a2+4-4a+a2+16,
整理得,2(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=2(a2+12),
∵a2=7,
∴x2+y2+z2-xy-yz-zx=7+12=19;
(2)设因式分解的另一个因式为x2+ax+b,
则(2x+3)(x2+ax+b)=2x3+2ax2+2bx+3x2+3ax+3b=2x3+(2a+3)x2+(2b+3a)x+3b=2x3-x2-13x+k,
所以
2a+3=-12b+3a=-13k=3b
,
解得
a=-2b=-72k=-212
,
所以,4k2+4k+1=(2k+1)2=[2×(-
21
2 )+1]2=(-20)2=400.
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