Question

已知函数f(x)=xˆ2+ax+1/xˆ2+a/x+b(x∈R,且x≠0),若实数a,b使得f(x)=0有实根，

已知函数f(x)=xˆ2+ax+1/xˆ2+a/x+b(x∈R,且x≠0),若实数a,b使得f(x)=0有实根，则aˆ2+bˆ2的最小值为?

Answer 1

解：由已知f(x)=x^2+1/(x^2)+ax+a/x+b=(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2
令t=x+1/x,则t≤2或t≥2，且f(t)=t^2+at+b-2
要使f(x)=0有实根，即 使f(t)=0在t≤-2或t≥2上有解。
即t^2+at+b-2=0在t≤-2或t≥2上有解。
Δ=a^2-4(b-2)≥0，其次f(-2)≤0或f(2)≤0
得到-2a+b+2≤0或 2a+b+2≤0
画出线性规划图形
由题意 根号下(a^2+b^2)表示原点到(a,b)距离
根据图形易知，
原点（0,0）到(a,b)距离最短距离为原点（0,0）到直线-2a+b+2=0 或2a+b+2=0的
易得其最小距离是 2/√5
所以a^2+b^2的最小值为4/5