Question

长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点都在球O的球面上,其中AA1=1,AB=2√2,AD=3√3,则经过B、C两点的球面距离是

长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点都在球O的球面上,其中AA1=1,AB=2√2,AD=3√3,则经过B、C两点的球面距离是（ ）
A、2π/3 B，4π/3 C、2π D、4π

Answer 1

长方体内接于球，所以长方体的对角线过球心，对角线长度为
√（1 + 8 + 27）=6， 所以球半径为3
过BC做球的切面得到一个圆， 圆半径为3， BC=AD=3√3，为弦长
连接圆心与BC中点得到直角三角形，斜边为半径3， 直角边BC/2=3√3/2
所以BC所对的角的一半的正弦为 BC/2/3=√3/2，所以BC所对的角为60°*2 = 120度
弦长为 (120/180)π*r= 2π
答案为C

Answer 2

对角线既是直径，1²+（2√2）²+（3√3）²=36， 直径为6，a1b=√（ab²+aa1²）=3，
即∠cba1=90°，∠ba1c=30°，∠bca1=60°，∠boc=120°，大圆周长=πx6=6π，bc对应∠120°，为120/360=1/3,则经过B、C两点的球面距离是6πx1/3=2π
选C、2π

Answer 3

C
由长方体的对角线公式，算出对角线长为6，得到外接球半径R=3．在△OBC中，利用余弦定理算出∠BOC的大小，再结合球面距离公式即可得到经过B、C两点的球面距离

具体的步骤我写出来很麻烦