Question

从1,2,3,…,2012,2013这些自然数中,最多可以取出()个数,使得其中每两个数的差不等于4。

Answer 1

先将1, 2, 3,..., 2012, 2013分成4组:
A: 1, 5, 9, 13,..., 2013共504个数,
B: 2, 6, 10, 14,..., 2010共503个数,
C: 3, 7, 11, 15,..., 2011共503个数,
D: 4, 8, 12, 16,..., 2012共503个数.
A组中至多可以取出252个数, 否则一定会取到相邻两项, 二者的差为4.
类似的, B, C, D组都至多取出252个数.
因此总共最多取出4·252 = 1008个数.

给一种取法:
1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 20,..., 2010, 2011, 2012, 2013.
易见共1008个数, 且没有两个数差为4.

Answer 2

解：2013÷4＝503…………1
一个数被4除的结果只能是余1、余2、余3、整除，共有4中情况。
在这2013个数中：
被4除余1的有504个；
被4除余2的有503个；
被4除余3的有503个；
整除的有503个。
我们取出被4除余1的504个数和取出被4除余2的1个数，整除的1个数，共有：506个。

Answer 3

按相邻两个数差3去取就可以了。因为如果相邻数是1，如23456,6-2就是4；差2也是如此。但差3就不会这样了。LZ还要注意如果取到结尾的时候，最末尾那个数和2013差不到3,2013也是可以取到的，甚至2012也可以……我没算过

追问

多少嘛

追答

672个吧，1,4,7……，2011,2013