Question

如图已知,AB‖CD,AF,CF分别是∠EAB,∠ECD的角平分线,F是两条角平分线的交点.求证∠F=二分之一∠AEC。

Answer 1

连接AC，利用角的关系证明
设角
∠BAE = u
∠DCE = v
∠EAC = s
∠ECA =t

AB‖CD 所以 u+v+s+t =180°

三角形AFC 所以 1/2 u + 1/2v + s+ t + ∠F =180°
三角形AEC 所以 s+ t + ∠E =180°

由1,2式 ， u +v = 1/2 (u+v) +∠F ; 即 1/2 (u+v) =∠F

由1,3式 ， u +v = ∠E

所以 ∠F = 1/2 ∠E

Answer 2

过E在E的左侧作EG∥AB，
∵AB∥CD，∴EG∥CD，
∴∠AEG=∠BAE，∠CEG=∠DCE(两直线平行，内错角相等)，
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE，
在内部作FH∥AB，则FH∥CD，
∴∠AFH=∠BAF，∠CFH=∠DCF，
∴∠AFC=∠BAF+∠DCF，
∵AF、CF分别平分∠EAB、∠ACD，
∴∠BAF=1/2∠BAE，∠CDF=1/2∠DCE，
∴∠AFC=1/2(∠BAE+∠DCE)=1/2∠AEC。