Question

已知数列｛a（n）｝满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。需证明过程

（1）a（1）=0，a（n+1）=a(n)+(2n-1)；
（2）a（1）=1，a（n+1）=( 2·a(n) )/( a(n)+2 )

Answer 1

1
a1=0
a2=1
a3=4
a4 = 9
a5 = 16
归纳出通项公式 an = (n-1)^2

用数学归纳法　证明

假设通项公式 an = (n-1)^2

n<=5时已经求得，假设成立　
假设n=k时 ak = (k-1)^2　
a{k+1} = a{k} + 2k -1
= (k-1)^2 + 2k -1
= k^2 -2k +1 +2k -1
= k^2
满足a{k+1} = ((k+1)-1)^2 的形式
所以假设的通项公式 an = (n-1)^2 对所有n都成立

2
a1=1 = 1/1
a2= 2/3 = 2/(1+2)
a3= 1/2 = 3/(1+2+3)
a4 = 2/5 = 4/(1+2+3+4)
a5 = 1/3 = 5/(1+2+3+4+5)
归纳出通项公式 an = n/((n+1)n/2) = 2/(n+1)

也用数学归纳法证明
假设通项公式 an = 2/(n+1)

n<=5时已经求得，假设成立　

假设n=k时 ak = 2/(k+1)
a{k+1}
=( 2·a{k} )/( a{k}+2 )
= 2 * 2/(k+1) / (2/(k+1) +2)
分子分母除2

= 2/(k+1) / (1/(k+1) +1)
分子分母同乘 (K+1)
= 2/(1+(k+1))
= 2/((k+1)+1)
满足a{k+1} = 2/((k+1)+1)的形式
所以假设的通项公式 an = 2/(n+1) 对所有n都成立

追问

第一问的a1 a 2 a3 a4 a5怎么求？

追答

用迭代关系，
a（n+1）=a(n)+(2n-1)；

把a1代进去，求a2
把a2代进去，求a3

把a3代进去，求a4

把a4代进去，求a5

Answer 2

欢迎追问

Answer 3