Question

若不等式x^2-xlnx>ax-2在(0,+∞)上恒成立，求a的范围

在学导数……

Answer 1

解由x^2-xlnx>ax-2在(0,+∞)上恒成立
即x^2-xlnx+2>ax在(0,+∞)上恒成立
即ax＜x^2-xlnx+2在(0,+∞)上恒成立
即a＜x-lnx+2/x在(0,+∞)上恒成立
即设y=x-lnx+2/x x属于(0,+∞)
即a＜x-lnx+2/x的最小值，
下面求y=x-lnx+2/x 在x属于(0,+∞)的最小值
y′=（x-lnx+2/x）′
=1-1/x-2/x²
=（x²-x-2）/x²
令y′=0
即 x²-x-2=0
即（x-2）（x+1）=0
解得x=2或x=-1（舍去）
故当x属于（0，2）时y′=（x²-x-2）/x²＜0
当x属于（2，正无穷大）时y′=（x²-x-2）/x²＞0
即当x=2时，y有最小值y（2）=2-ln2+2/2=3-ln2
即a＜3-ln2

追问

这里即a＜x-lnx+2/x的最小值，是肿木回事啊……^谢谢~

追答

你看
a＜x-lnx+2/x在(0,+∞)上恒成立
即对（x-lnx+2/x）无论整体取什么值，
a必须小于（x-lnx+2/x）的值
即a小于x-lnx+2/x的最小值，
不懂请问，谢谢采纳。