Question

已知不等式(ax+2)*ln(x+a)≤0对x∈(-a,∞)恒成立，则a的值为

求详细的过程，谢谢

Answer 1

设f(x)=(ax+2)ln(x+a),g(x)=ax+2,x∈(-a,+∞)
x=-a+1时 f(x)=0≤0
x∈(-a,-a+1)时
ln(x+a)<0,在(-a,-a+1)上f(x)≤0恒成立
g(x)≥0在(-a,-a+1)上恒成立
g(-a)=-a² +2≥0 且g(-a+1)=-a² +a+2≥0
-√2≤a≤√2且-1≤a≤2
得 -1≤a≤√2 (1)
x∈(-a+1,+∞)时
ln(x+a)>0,在(-a+1,+∞)上f(x)≤0恒成立
g(x)≤0在(-a+1,+∞)上恒成立
a<0 且g(-a+1)=-a² +a+2≤0
a<0 且 (a≤-1或a≥2)
得 a≤-1 (2)
f(x)≤0在(-a,+∞)上恒成立,a应同时满足(1)(2)
所以 a=-1