Question

点A.B.C.D在同一个球面上，AB=BC=根号2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为2/3，则这个球的表面积为？

Answer 1

ΔABC满足,AB=BC=√2，AC=2,
AC²=AB²+BC²
∴∠ABC=90º
截面小圆的半径r=1/2*AC=1
四面体ABCD体积的最大值为2/3
VD-ABC=1/3*SΔABC*h=1/3*1/2*2*h=2/3
∴h=2
设球的半径为R,球心为O,O到截面的距离为d
当D到底面ABC距离最远，即h=R+d时，
四面体ABCD体积的最大值。
∵d=√(R²-r²)=√(R²-1)
∴√(R²-1)+R=2
∴√(R²-1)=2-R
R²-1=R²-4R+4
解得R=5/4
∴这个球的表面积为
4πR²=4π*25/16=25π/4
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