Question

已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
！！！！！！！！！！！！第三问有其他方法吗？除了面积法，，相似可以吗？

Answer 1

解：（1）将A（3，0）、B（0，3）代入y=ax²+2x+c，得
{9a+6+c=0
c=3
解得{a=-1
c=3
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
(2)∵y=-x²+2x+3＝-（x-1）²+4
∴抛物线的对称轴为直线X＝1
∵抛物线y=-x²+2x+3与X轴交于点A（3，0），由对称性，可得C（-1，0）
连接AB，则AB于抛物线的对称轴直线X＝1的交点就是所求的D点。
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（3，0）、B（0，3）代入，得
{3k+b=0
b=3
解得：{k=-1
b=3
∴直线AB的解析式是y=-x+3
令X＝1，得y=-1+3=2
∴D（1，2）
（3）设在第一象限的抛物线上存在点P（m，n），则n= -m²+2m+3
连接OP，
则S△ABP＝S△PBO+S△PAO－S△AOB
＝½×3m+½×3×(-m²+2m+3)－½×3×3
=(3/2)m－(3/2)m²+3m+(9/2)－(9/2)
=-(3/2)m²+(9/2)m
=(-3/2)[m－(3/2)]²＋(27/8)
∴当m=3/2时，n= -m²+2m+3＝15/4，
即存在点P（3/2，15/4），使S△ABP有最大值。
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追问

第三问有其他方法吗？

追答

没想出来

Answer 2

我们老师第三问也是这么讲的，已经很简便了