Question

（2014?常德三模）已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为

（2014?常德三模）已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=-13x+1交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？

Answer 1

（1）抛物线y=ax²-2x+c中，对称轴x=-

b

2a

=-

?2

2a

=1，∴a=1；
将点A（-1，0）代入y=ax²-2x+c中，得：1+2+c=0，c=-3；
∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）∵抛物线的解析式：y=x²-2x-3=（x-1）²-4=（x+1）（x-3），
∴点C（0，-3）、B（3，0）、E（1，-4）；
易知点D（0，1），则有：
OD=1、OB=3、BD=

10

；
CE=

2

、BC=3

2

、BE=2

5

；
∴

OD

CE

=

OB

BC

=

BD

BE

；
∴△BCE∽△BOD．

（3）S_△BOE=

1

2

×BO×|y_E|=

1

2

×3×4=6；
∴S_△BDP=

1

2

×BD×h=S_△BOE=6，即 h=

12

10

．
在y轴上取点M，过点M作MN⊥BD于N，使得MN=h=

12

10

；
在Rt△MND中，sin∠MDB=

3

10

，且 MN=

12

10

；则 MD=

MN

sin∠MDB

=4；
∴点M（0，-3）或（0，5）．
过点M作直线l∥MN，如右图，则 直线l：y=-

1

3

x-3或y=-

1

3

x+5，联立抛物线的解析式有：

y＝? 1 3 x?3 y＝x2?2x?3

或

y＝? 1 3 x+5 y＝x2?2x?3

解得：

x1＝0 y1＝?3

、

x2＝ 5 3 y2＝? 32 9

、