Question

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O事AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.

请回答以下问题：
（1）试说明：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边的中点，且AC：AB=2时，如图2，求OF：OE的值；
（3）当O为AC边的中点，且AC：AB=n时，请直接写出OF：OE的值.

第二问做辅助线要过点O作OG垂直于AC,交AD的延长线于G
求你们了，快一点

Answer 1

答案示例：
（1）∵AD⊥BC
∴∠DAC+∠C=90度
∵∠BAC=90°
∴∠BAF=∠C
∵OE⊥OB
∴∠BOA+∠COE=90°
∵∠BOA+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠COE
∴△ABF∽△COE 。
（2）∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB交于AB于P
在三角形AFO中，作FN⊥AO交于AO于N
则ΔBPF ≌ΔOME
∴ OE:OF=BF:OF
∵ ΔBPF∽ΔFNO
∴ BF:OF=PF:NO=PF:FN
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ PF:FN=AB:AC=1:2
∴ OF:OE=2

（3）
解法1：
∵∠BAD+∠DAC=90°， ∠DAB+∠ABD=90°
∴∠DAC=∠ABD
又∠BAC=∠AOG=90°， AB=OA
∴△ABC≌△OAG
∴OG=AC=2AB
∵OG⊥OA
∴AB∥OG
∴△ABF∽△GOF
∴ OF/BF=OG/AB
OF/OE=OF/BF=OG/AB=2。
解法2：
过O作AC垂线并交BC于H
∵∠AFB=∠OEC
∴∠AFO=∠HEO
∵∠BAF=∠ECO
∴∠FAO=∠EHO
∴△OEH∽△OFA
∴OF：OE=OA：OH=2：1
故 OF：OE=2

希望我的回答对你的学习有帮助，如果满意请及时采纳，谢谢！！

Answer 2

⑴∵AD⊥BC，∴∠BAD+ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠C=90°
∴∠BAD=∠C，∵OE⊥OB，∴∠AOB+∠COE=90°，又∠AOB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠COE，∴ΔABF∽ΔCOE；
⑵∵O为AC的中点，AC/AB=2，∴AB=AO=OC，
又∵ΔABF∽ΔCOE
∴ΔABF≌ΔCOE，∠AOB=∠COE=45°，∴OE=BF，
过E作EH⊥OC于H，则OH=EH=OE/√2，
∵AC：AB=2，∴∠C=30°
∴CH=2EH=√2OE，
∴OC=3√2/2*OE，
∴OB=√2*OC=3OE，∴OF=2OE，
∴OF：OE=2。
(3)设AB=2x，则：AC=2nx,AO=OC=nx,BC=2√(1+n^2)x
OB=√(4+n^2)x
BD=AB*sinC=2x/√(1+n^2)
在△BOC中，设∠OBC=a，则cosa=(BC^2+OB^2-OC^2)/2BC*OB=(2+n^2)/√(1+n^2)(4+n^2)
在RT△BDF中，BF=BD/cosa=2x√(4+n^2)/(2+n^2)
△ABF∽△COE
∴OE/OC=BF/AB
OE=BF*OC/AB=nx√(4+n^2)/(2+n^2)
OF=OB-BF=n^2x√(4+n^2)/(2+n^2)
∴OF：OE=n