Question

急求解考研数学三一题目，划线部分没看懂，此处（1+1÷X）vX为什么不能换成e，他解释x趋于正无穷大

急求解考研数学三一题目，划线部分没看懂，此处（1+1÷X）vX为什么不能换成e，他解释x趋于正无穷大时候，幂指数中的x没有同时取极限，我疑问就是怎么看出来没同时取极限的

Answer 1

你就没明白人家说的是啥……
这个题目里明显除了（1+1/X）^X之外，外面还有个括号，然后指数上有个x
你不能把里面这一坨取极限成e，外面指数上那个x却不管，就是这个意思

追问

那我把（（1+1/X）^X） ^2换成e ^2这样不是考虑到x了……为什么不能呢

追答

所谓取极限，是指这个变量趋近于某个值函数值的趋势，你把（1+1/X）^X中的X都取了极限，但显然这个式子里中括号外面的指数还含 有X，你不能指一些X取了极限过程，而另一些还保留，这样是没有意义的

Answer 2

虽然你觉得误差很小了，可不能无条件替换。无穷小和无穷大也都是相对的，x在x趋向于0时，趋向于无穷小，但相对于x^2来说还是很大的。理论上烧红的铁块要等无穷大的时间才能和室温相同，可实际呢？

Answer 3

就是说你把底下分母的取极限了=e，但是整个运算过程中没有考虑到极限的幂x的取值。再通俗一点就是lim（x/y）z（z次幂）不等于（lim x/limy)z(z次幂)不方便打。大致看看

追问

我把（（1+1/X）^X） ^2换成e ^2……这样不是把幂指数x考虑进去了，为什么不能这样等价替换呢

追答

x趋于什么？

追问

x趋于正无穷