Question

求解答一道高中数学题。需要解答过程的。谢谢

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1+2a2+3a3+....+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N) (1)求数列｛an｝的通项公式 (2)若p,q,r是三个互不相等的正整数，且p,q,r成等差数列，试判断ap-1,aq-1,ar-1是否成等比数列？并说明理由。

Answer 1

1.
a1+2a2+3a3+....+nan=(n-1)Sn+2n

a1+2a2+3a3+....+nan+(n+1)a(n+1)=nS(n+1)+2(n+1)=n[Sn+a(n+1)]+2n+2

两式相减有
(n+1)a(n+1)=Sn+n*a(n+1)+2

(n+1)a(n+1)-n*a(n+1)-2=Sn

a(n+1)-2=Sn
an-2=S(n-1)
所以
a(n+1)-an=an
a(n+1)=2an
数列｛an｝为以2为公比的等比数列

a1=2
an=2^(n-1)*a1=2^n

2.
p,q,r成等差数列，所以p+r=2q

(ap-1)(ar-1)=(2^p-1)(2^r-1)=2^(p+r)-(2^p+2^r)+1=2^(2q)-(2^p+2^r)+1
(aq-1)²=(2^q-1)²=2^(2q)-(2*2^q)+1

由于p+r=2q，且p≠r，所以2^p+2^r>2*根号(2^p*2^r)=2根号(2^2q)=2*2^q
因此
(ap-1)(ar-1)<(aq-1)²

所以
ap-1,aq-1,ar-1无法构成等比数列

很高兴为您解答，祝学习进步！
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