Question

请问如何理解极限啊？为什么我觉得无法回答芝诺悖论啊

老师和书上都说极限是无限接近但是却永远无法到达的点。假如数列Sn= 1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+......+(1/2)^n,大家都知道Sn=1(等比数列求和公式)，但是它的极限也是1(到底极限是不是等于啊)。
现实生活中，假如有一个一米长的跑道 ，一个人先跑了1/2米，然后又跑了剩下的1/2，即(1/2)^2米，然后又跑了再剩下的1/2米，即(1/2)^3，然后极限是可以无限接近却无法到达的，也就是说一个人会无限接近终点，却无法到达终点(芝诺悖论)，这显然是不对的，可是要怎么解释呢？
跪求大神能回答我这个问题啊，我都卡在这很长时间了，而且1+无穷小量和1比哪个大啊，如果1+无穷小量=1，那不就说明1+无穷小量=1+0。无穷小量=0？？？

Answer 1

为什么说“这显然是不对的”？数学上看这是完全合理的呀，任何N，(1/2)^N都是严格大于0的数。
看起来是“悖论”只是因为人没法分辨(1/2)^10米的距离。

无穷小量的概念是相对的。比如说a(n)是一个无穷小量是指当n趋于无穷，a趋于0。
对比于1，a(n)就是一个无穷小量。
严格说，1+无穷小量>1。
有时候大家说1+无穷小量=0，其实是省略了“n->无穷"的条件。

从极限的环境下分析问题，实际上是为了简化问题：在极限下无穷小的量就可以忽略掉，虽然在非极限的环境下不可以。

追问

？？？跑一个一米长的跑道会永远到不了终点吗？得出的结论却是无法到达终点，和现实完全相反，怎么可能是对的啊。。。 无穷小和0是什么关系啊

追答

如果一个人能做到每一步只跑剩下距离的一半，永远跑不到终点。

无穷小趋向于0，严格的说不等于0，但一般都把它看成0（可以忽略）。

追问

这个后来我理解了，原因就是我们直观上认为无穷个变量加起来一定是无穷，其实不一定，有时候的确是无穷，有时候却可能是常量，比如无穷级数里的收敛级数。虽然是无穷个1/2，但是无限个加起来却是常量。

至于0的话，0是唯一一个可以作为无穷小的常数。 因为f(x)=0符合无穷小的定义。
同济高数第六版上册39页原话。

Answer 2

我解释这个问题"假如有一个一米长的跑道 ，一个人先跑了1/2米，然后又跑了剩下的1/2，即(1/2)^2米，然后又跑了再剩下的1/2米，即(1/2)^3，然后极限是可以无限接近却无法到达的，也就是说一个人会无限接近终点，却无法到达终点(芝诺悖论)，这显然是不对的，可是要怎么解释呢？"
假设人的速度是1米/秒，跑道长为一米则他跑的时间是t=1/2+1/2^2+1/2^3+......1/2^n
n趋向于无穷时t也趋于一，也就是说这个人跑的时间没有超过一秒，所以他不可能达到终点，但现实中时间肯定是会到一秒的，所以他到不到终点的原因是没有给他足够的时间，在下愚见，希望有更好的

Answer 3

这种达到只是看上去达到，却永远无法真正达到，就好比你洗衣服，脏的衣服是1状态，绝对干净的衣服是0状态，不管怎么洗你永远也无法将衣服达到零的状态，这个悖论我觉得更重要的是在实际中的运用，实际中你只能在有限的时间内尽可能地把衣服洗干净。