已知abc是三角形abc的三边,求证(a²+b²-c²)²-4a²b²<0

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feidao2010
2013-03-18 · TA获得超过13.7万个赞
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证明:
利用作差比较和三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
∵ (a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²]*[(a-b)²-c²]
=(a+b-c)(a+b+c)*(a-b+c)*(a-b-c)
abc是三角形abc的三边
∴ a+b-c>0, a+b+c>0, a+c-b>0 a-b-c<0
∴ (a²+b²-c²)²-4a²b²<0
anranlethe
2013-03-18 · TA获得超过8.6万个赞
知道大有可为答主
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左式=[(a²+b²-c²)-2ab]*[(a²+b²-c²)+2ab]
=(a²+b²-2ab-c²)(a²+b²+2ab-c²)
=[(a-b)²-c²]*[(a+b)²-c²]
=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)
其中,唯有a-b-c<0
所以,左式<0
证毕。

祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
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冰舞紫穹
2013-03-18
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直接因式分解得
=(a²+b²-c²-2ab)(a²+b²-c²+2ab)
=[(a-b)²-c²][(a+b)²-c²]
=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)
根据三角形中两边之和大于第三边,则有
a-b-c=a-(b+c)<0

a-b+c=(a+c)-b>0

a+b-c>0
a+b+c>0

所以
(a²+b²-c²)²-4a²b²=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)<0
得证。
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