Question

已知 f(x)的一个原函数为(lnx)^2,求∫xf'(x)dx

Answer 1

ƒ(x)的原函数为(lnx)²
==> ∫ ƒ(x) dx = (lnx)²
==> ƒ(x) = 2(lnx)(1/x) = (2/x)(lnx)

∫ xƒ'(x) dx
= ∫ x d[ƒ(x)]
= xƒ(x) - ∫ ƒ(x) dx
= x(2/x)(lnx) - (lnx)²
= 2lnx - (lnx)²

Answer 2

f'(x)等于[(lnx)^2]''等于(2/x.lnx)'等于(-2/x^2.lnx加2/x^2)，所以积分xf'(x)dx等于积分(-2/x.lnx加2/x)dx等于-(lnx)^2加2lnx

Answer 3

f(x)的一个原函数为(lnx)^2

f(x)=[(lnx)^2]'=2lnx/x
∫xf'(x)dx

=∫xdf(x)
=xf(x)-∫f(x)dx
=2lnx-(lnx)^2+C