Question

∑为上半球面z=√(1-x^2-y^2)的上侧,则对坐标的曲面积分∫∫y^3dxdy=??求详细过程

Answer 1

把上团正裂半球面z=√(1-x^2-y^2)投影到xoy平面上，得圆x^2+y^2=1，利用极坐标，原积分=∫(sinθ)^3dθ∫r^4dr (r积塌闭分限0到1，θ积分限0到2π），∫r^4dr =1/5，∫(sinθ)^3dθ=-∫(sinθ)^2dcosθ=∫[(cosθ)^2-1]dcosθ=(cosθ)^3/3-cosθ=0，所以积分=0
其实本题可利用对称性，由于积分曲面关于x轴对称，而被清猜积函数是关于y奇函数，所以积分=0

Answer 2

Dxy:x^2+y^2≤1,x=√(1-y^2),换元：y=rsinθ,
∫∫y^3dxdy=∫脊孙(0->2π)sinθ^3dθ∫乱樱(0->1)r^3*rdr
=-∫哗野丛(0->2π)sinθ^2dcosθ∫(0->1)r^4dr
=∫(0->2π)(cosθ^2-1)dcosθ∫(0->1)r^4dr
=(1/3*cosθ^3-cosθ)(0->2π)*1/5*r^5(0->1)
=4/3*1/5
=4/15