Question

数学问题不等式

已知正数x,y,z满足x∧2+y∧2+z∧2=6，求
1.x+2y+z的最大值
2.若不等式la+1l-2a≥x+2y+z对满足条件xyz恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

昨天刚答过, 这里再贴一下.
1. 如果能用Cauchy不等式, 那么直接有(x+2y+z)² ≤ (1²+2²+1²)(x²+y²+z²) = 36.
如果不能用, 可以参考Cauchy不等式进行配方:
(x+2y+z)² = x²+4y²+z²+4xy+4yz+2zx = 6(x²+y²+z²)-(4x²-4xy+y²)-(y²-4yz+4z²)-(z²-2zx+x²)
= 36-(2x-y)²-(y-2z)²-(z-x)² ≤ 36, 于是x+2y+z ≤ 6.
易见当x = 1, y =2, z = 1时等号成立, 故x+2y+z最大值为6.

2. |a+1|-2a ≥ x+2y+z对所有满足条件的x, y, z恒成立等价于|a+1|-2a不小于x+2y+z的最大值.
即|a+1|-2a ≥ 6.
若a ≥ -1, 有a+1-2a ≥ 6, 得-1 ≤ a ≤ -5, 无解.
若a < -1, 有-1-a-2a ≥ 6, 得a ≤ -7/3 < -1.
于是a的取值范围为(-∞,-7/3].

Answer 2

1、(x+2y+z)² = x²+4y²+z²+4xy+4yz+2zx = 6(x²+y²+z²)-(4x²-4xy+y²)-(y²-4yz+4z²)-(z²-2zx+x²)
= 36-(2x-y)²-(y-2z)²-(z-x)² ≤ 36, 于是x+2y+z ≤ 6.
当x = 1, y =2, z = 1时等号成立, 故x+2y+z最大值为6。
2、|a+1|-2a ≥ x+2y+z对所有满足条件的x, y, z恒成立等价于|a+1|-2a不小于x+2y+z的最大值.
即：|a+1|-2a ≥ 6.
若a ≥ -1, 有a+1-2a ≥ 6, 得-1 ≤ a ≤ -5, 无解.
若a < -1, 有-1-a-2a ≥ 6, 得a ≤ -7/3 < -1.
∴ a的取值范围为(-∞,-7/3]。

Answer 3

1.柯西不等式
(x+2y+z)^2<=(x^2+y^2+z^2)(1+2^2+1)=36,当x=y/2=z,即x=1,y=2,z=1时等号成立
所以x+2y+z最大值为6
2.原命题转化为la+1l-2a≥6
即la+1l≥6+2a
6+2a<=0或{6+2a>0,la+1l≥6+2a}
解得：(-无穷，-7/3]

Answer 4

不用柯西不等式时，可使用参数方程x=asinAcosB y=asinAsinB z=acosA(A、B都是0到90°，a=6^0.5)参数方程是通解方法，因为三角函数很好求极限，最后可以发现A=arctan(5^0.5),B=arctan2的时候有最大值6
第二问即是la+1l-2a≥6，分类讨论绝对值号里面的正负性即可。

Answer 5

解：设七年级女生为X人，宿舍则为（X-4）÷6，列方程得：

X÷8=（X-4）÷6-1
解方程得：X=40
（40-4）÷6=9（间）
答：人数为40人，宿舍6间。