Question

已知：等差数列{An}的公差大于零，且a3，a5是方程x^2－14x＋45=0的两根，数列{Bn}的前n项和Sn=1－1/3^n...

已知：等差数列{An}的公差大于零，且a3，a5是方程x^2－14x＋45=0的两根，数列{Bn}的前n项和Sn=1－1/3^n 1.求：数列{An}，{Bn}的通项公式。 2.记cn=an×bn ，求证：Cn+1小于等于Cn

Answer 1

an=2n-1,bn=2/3^n,证明题直接用两个相减小于零就能证明，这么简单。

Answer 2

等差数列{an}的a3和a5是方程x²－14x＋45=0的根，且公差d>0，则：
a3=5、a5=9
得：d=2
an=2n－1
又：
Sn=1－[1/3^n]
当n=1时，b1=2/3
当n≥2时，有：
bn=Sn－S(n－1)=2×(1/3)^n，而这个式子当n=1时也满足，则：
bn=2×(1/3)^n

Cn=(2n－1)×2×(1/3)^n=(4n－2)(1/3)^n
则：
C(n＋1)=(4n＋2)(1/3)^(n＋1)
C(n＋1)－Cn=[(1/3)^(n＋1)]×[(4n＋2)－3(4n－2)]=(8－8n)×(1/3)^(n＋1)≤0
即：C(n＋1)－Cn≤0
则：C(n＋1)≤C(n)

Answer 3

d>0 a3<a5
x²-14x+45=0
(x-5)(x-9)=0
a3=5 a5=9
a5-a3=2d=9-5=4=2d
d=2
a1=a3-2d=5-4=1
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
an=2n-1
n=1时，S1=b1=1-1/3=2/3
n≥2时，
Sn=1 -bn/2 S(n-1)=1- b(n-1)/2
bn=Sn-S(n-1)=(2/3)(1/3)^(n-1)=2/3ⁿ
cn=anbn=(2n-1)(2/3ⁿ)=4n/3ⁿ -2/3ⁿ
Tn=c1+c2+...+cn=4(1/3+2/3²+...+n/3ⁿ)-2(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ)
令Cn=1/3+2/3²+...+n/3ⁿ
则Cn/3=1/3²+2/3³+...+(n-1)/3ⁿ +n/3^(n+1)
Cn-Cn/3=(2/3)Cn=1/3+1/3²+...+1/3ⁿ- n/3^(n+1)
Cn=(3/2)(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ) -(3/2)[n/3^(n+1)]
Tn=4Cn -2(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ)
=6(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ) -6n/3^(n+1) -2(1/3 +1/3²+...+1/3ⁿ)
=4(1/3)(1-1/3ⁿ)/(1-1/3) -2n/3ⁿ
=2 -2/3ⁿ -2n/3ⁿ
=2 - 2(n+1)/3ⁿ

Answer 4

解：
公差d>0，数列为递增数列，a3<a5
x²-14x+45=0
(x-5)(x-9)=0
x=5或x=9
a3=5 a5=9
a5-a3=2d=9-5=4
d=2
a1=a3-2d=5-4=1
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1

n=1时，S1=b1=1-b1/2
(3/2)b1=1
b1=2/3
n≥2时，
Sn=1 -bn/2 S(n-1)=1- b(n-1)/2
bn=Sn-S(n-1)=1-bn/2 -1+b(n-1)/2
(3/2)bn=b(n-1)/2
bn/b(n-1)=1/3，为定值。
数列{bn}是以2/3为首项，1/3为公比的等比数列。
bn=(2/3)(1/3)^(n-1)=2/3ⁿ

cn=anbn=(2n-1)(2/3ⁿ)=4n/3ⁿ -2/3ⁿ
Tn=c1+c2+...+cn=4(1/3+2/3²+...+n/3ⁿ)-2(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ)
令Cn=1/3+2/3²+...+n/3ⁿ
则Cn/3=1/3²+2/3³+...+(n-1)/3ⁿ +n/3^(n+1)
Cn-Cn/3=(2/3)Cn=1/3+1/3²+...+1/3ⁿ- n/3^(n+1)
Cn=(3/2)(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ) -(3/2)[n/3^(n+1)]

Tn=4Cn -2(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ)
=6(1/3+1/3²+...+1/3ⁿ) -6n/3^(n+1) -2(1/3 +1/3²+...+1/3ⁿ)
=4(1/3)(1-1/3ⁿ)/(1-1/3) -2n/3ⁿ
=2 -2/3ⁿ -2n/3ⁿ
=2 - 2(n+1)/3ⁿ