Question

对线性方程组 aX1+X2+X3=1 X1+aX2+X3=a X1+X2+aX3=a*a 而言，问a为何值时，方程组有唯一解？或有无穷多解

对线性方程组
aX1+X2+X3=1
X1+aX2+X3=a
X1+X2+aX3=a*a
而言，问a为何值时，方程组有唯一解？或有无穷多解？

Answer 1

增广矩阵为
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2

先计算系数矩阵的行列式
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ
= (λ+2)(λ-1)^2.

当λ≠1 且λ≠-2 时, 由Crammer法则知有唯一解.

当λ=1时, 增广矩阵为
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
->
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
通解为: (1,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'

当λ=-2时, 增广矩阵为
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
1 1 -2 4

r3+r1+r2
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
0 0 0 3
此时方程组无解.

追问

有别的算法吗

追答

得到方程组的增广矩阵为：
(a 1 1 1
1 a 1 a
1 1 a a^2)
对其进行初等行变换，得到
(a 1 1 1
1 a 1 a
1 1 a a^2) 第1行减去第3行乘a，第2行减去第3行

= (0 1-a 1-a^2 1-a^3
0 a-1 1-a a -a^2
1 1 a a^2) 第1行和第3行交换

=(1 1 a a^2
0 a-1 1-a a -a^2
0 1-a 1-a^2 1-a^3) 第3行加上第2行

=(1 1 a a^2
0 a-1 1-a a -a^2
0 0 2-a-a^2 1+a-a^2-a^3)

=(1 1 a a^2
0 a-1 1-a a(1-a)
0 0 (2+a)(1-a) (1+a)(1-a^2) )

若方程有唯一解，
则系数矩阵的秩r(A)=增广矩阵的秩r(A,b)=3，
则a-1≠0且2-a-a^2≠0，
故a≠1且a≠ -2

若方程无解，
则系数矩阵的秩r(A) < 增广矩阵的秩r(A,b)，
故(2+a)(1-a)=0且 (1+a)(1-a^2) ≠0，
所以 a= -2

若方程有无穷多解，
则系数矩阵的秩r(A)=增广矩阵的秩r(A,b) < 3，
故(2+a)(1-a)=0且 (1+a)(1-a^2) =0，
所以a =1

综上所述，
a≠1且a≠ -2时方程有唯一解，
a= -2时方程无解，
a= 1时方程有无穷多解