Question

急！！！初三数学：已知梯形ABCD，AD平行BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.

（1）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE、PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，求出最小值，如果不存在，说明理由。（自己画图，没给图）
（2）如图，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，说明理由。
附：（2）图：

Answer 1

2012•连云港)已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质。
专题： 代数几何综合题。
分析： 问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等；
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得 ＝ ＝ ，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；
问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得 ＝ 与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案．
解答： 解：问题1：∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC＝90°，
∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，
∴DC＝2 ，
设PB＝x，则AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，
化简得x2－2x＋3＝0，
∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．

问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，
∴∠ADP＝∠QCH，
又∵PD＝CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD＝HC，
∵AD＝1，BC＝3，
∴BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

问题3：如图3，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD＝DE，
∴ ＝ ＝ ，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP＝∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即 ＝ ＝ ，
∴CH＝2，
∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，
∴ ＝ ，
∴G是DC上一定点，
作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，
∴∠QBH＝∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴ ，
∵AD＝1，
∴BH＝n＋1，
∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4，
过点D作DM⊥BC于M，
则四边形ABND是矩形，
∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2
∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM，
∴∠DCM＝45°，
∴∠KCH＝45°，
∴CK＝CH•cos45°＝ (n＋4)，
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为 (n＋4)．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用

莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/shti/cusan/111457.htm

Answer 2

Answer 3

高二，不会。。

Answer 4

让我看看！