Question

设函数f（x）在x=0处连续，f（0）=0，且对任意的x、y都有f（x+y)=f(x)+f(y), ) (

试证明：f（x）为R上的连续函数

Answer 1

令x=y=0知道f(0)=0；
对任意的x，考虑当dx趋于0时，f(x+dx)的极限是否是f(x)即可。
因为lim f(x+dx)
=lim f(x)+f(dx)
=lim f(x)+lim f(dx) （*）
=f(x)+f(0)
=f(x)
其中(*)式是因为f(x)在x=0连续，于是lim f(dx)=f(0)=0

追问

为什么“f(x+dx)的极限是否是f(x)即可”，大思路我还是不太懂

追答

这是定义啊。
函数f在x连续的定义就是函数极限等于函数值啊，即lim f(x+dx)=f(x)

追问

lim f(x+dx）表示x处的极限吗？这种表达怎么没见过啊。+dx是怎么回事啊，拜托你再耐心点化一下我这个笨小孩吧，谢谢啦

追答

dx就是自变量的该变量啊，书上用delta x表示而已。我一开始说了，考虑dx趋于0时的极限。
lim f(x+dx)表示在x处函数f的极限。