Question

已知。如图,二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)(1)求证:二次函数的图像与x轴必有两个不

已知。如图,二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)(1)求证:二次函数的图像与x轴必有两个不同的交点。
问题补充： (2)这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且x1的平方加x2的平方等于10，求抛物线的解析式。
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)y=mx²+(m-3)x-3
△=(m-1)²+12m>0 (m>0)
则二次函数的图像与x轴有两个不同的交点
(2) x1²+x2²=10
(x1+x2)²-2x1x2=10
[-(m-3)/m]²+2*3/m=10
m²-6m+9+6m=10m²
m²=1 (m>0) 得 m=1
抛物线的解析式：y=x²-2x-3
(3) BC直线过PD的三等分点中的一个
设P点坐标为（x，x²-2x-3）
则 3-x=(x²-2x-3)/3 或3-x=(x²-2x-3)*2/3
当3-x=(x²-2x-3)/3时，即
9-3x=x²-2x-3
x²+x-12=0
x=-4 x=3 (均不符合题意)
当3-x=(x²-2x-3)*2/3时，即
9-3x=2x²-4x-6
2x²-x-15=0
x=3 x=-5/2 (均不符合题意)
即不存在P点