Question

求解数学题啊！！！

已知根号X-1/(2*4次根号X）n次方的展开式中，前三项系数的绝对值一次成等差数列。（1）证明展开式中没有常数项。（2）求展开式中所有的有理项。求详细解答过程，急啊。。。！

Answer 1

已知[(√x)-1/(2∜x)]ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对之成等差数列。证明(1)展开式中没有常数项；(2)求展开式中的所有有理项。
解：（1）[(√x)-1/(2∜x)]ⁿ=(√x)ⁿ-n(√x)ⁿ⁻¹(1/2∜x)+[n(n-1)/2](√x)ⁿ⁻²(1/4√x)-........
前三项的系数依次为1，n/2，n(n-1)/8，此三数成等差数列，故有等式：
[1+n(n-1)/8]=n，即有n²+9n-8=(n-1)(n-8)=0，即得n=8.
第r+1项T‹r+1›=C[8，r](√x)^(8-r)(-1/2∜x)^r=C[8，r][(-1)^r]{x^[(8-r)/2]}{(1/2^r)x^[-(r/4)]
=C[8，r][(-1/2)^r]x^[(8-r)/2-r/4]
如果有常数项，则(8-r)/2-r/4=0，且r应为整数；即有2(8-r)-r=16-3r=0，得r=16/3；显然，16/3不是整数，故展开式中没有常数项。
(2)有理项中的x的指数(8-r)/2-r/4=(16-3r)/4=整数，不难看出，只有r=4时(16-3r)/4=1；r=8时
(16-3r)/4=-2；即只有第5项和第9项是有理项。
第5项T‹4+1›=C[8，4]x=70x
第9项T‹8+1›=C[8，8]x⁻²=1/x².