Question

数学归纳法证(Cosa+iSina)n次方=Cosna+Sinnan属于N*

数学归纳法证(Cosa+iSina)n次方=Cosna+Sinnan属于N*

Answer 1

很高兴回答你的问题。
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你题目写错了 应该是：(cosa+i sina)^n=cos(na)+i sin(na)，请核对。
因为不用数学归纳法有 (cosa+i sina)^n=e^(ia)^n=e^ina=cos(na)+i sin(na)
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下面用数学归纳法证明
（1）当n=1时候，(cosa+i sina)^1=cos (1a)+i sin (1a) ，成立。
（2）如果n=m，m≥2 成立，有(cosa+i sina)^m=cos(ma)+i sin (ma) 那么
(cosa+i sina)^(m+1)
=(cosa+i sina)^m*(cosa+i sina)
=[cos(ma)+i sin(ma)](cosa+i sina)
=cos(ma)*cosa-sin(ma)*sina+i [sin(ma)*cona+cos(ma)*sina]
=cos(ma+a)+i sin(ma+a)
=cos[(m+1)a]+i sin[(m+1)a]
所以如果n=m成立，n=m+1也成立。
所以结论就是 (cosa+i sina)^n=cos(na)+i sin(na) 对于n∈N*成立。
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如有疑问请追问，如果满意请选择【选为满意答案】，谢谢。

Answer 2

n=1
LS = cosa+isina=RS
p(1) is true
Assume p(k) is true
ie
(cosa+isina)^k = cos(ka)+isin(ka)
for n=k+1
LS
= (cosa+isina)^(k+1)
=[cos(ka)+isin(ka)](cosa + isina)
= (cos(ka)cosa-sin(ka)sina) + i(sin(ka)cosa+cos(ka)sina)
=cos(k+1)a + isin(k+1)a
=RS
p(k+1) is true
By principle of MI, it is true for all n