Question

如图,在△ABC中,<ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，<ABE=

<CBE.
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由
（2）求证：BG²-GE²=EA²

Answer 1

（1）相等 证明:
∵CD⊥AB ∴∠CDB=90°
∵∠CBA=90° ∴ ∠BCD=45° ∴△BCD为等腰直角三角形 ∴BD=CD
在Rt△BEA中∠ABE+∠A=90° 在Rt△CAD中 ∠DCA+∠A=90°
∴∠ABE=∠ACD
∵∠CDA=∠BDC=90° ∴△BDH≌△CDA（ASA） ∴BH=AC
（2）连结CG AG
在等腰直角三角形BCD中F为BC中点 ∴DF垂直AC（三线合一）
在△BGF和△CGF中 ∠BFG=∠CFG=90° BF=CF FG=FG 所以△BGF≌△CGF（SAS）
∴BG=CG
同理△CGE≌△AGE ∴AG=CG=BG
在Rt△AGE中 由勾股定理 AG²-GE²=EA²
∵AG=BG ∴BG²-GE²=EA²
证毕

ps：打数学字符真累

Answer 2

证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
∵在△DBH和△DCA中
∠BDH=∠CDABD=CD∠HBD=∠ACD，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH=AC．
（2）连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
在△ABE和△CBE中
∵∠AEB=∠CEBBE=BE∠CBE=∠ABE，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG的平方-GE的平方=EA的平方
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