Question

证明多项式a0*x^n+a1*x^n-1+a2*x^n-2+....+...an=0当n为奇数时,至少有一实根.(a0!=0)

Answer 1

不妨设a0 > 0.
我们证明x为充分大的正实数时, 多项式取正值, 而x为绝对值充分大的负实数时取负值.
于是存在取零的点, 即实根.

实际上, 当|x| > |a1/a0|+|a2/a0|+...+|an/a0|+1.
有|a0·x^n| > |a1·x^n|+|a2·x^n|+...+|an·x^n|
> |a1·x^(n-1)|+|a2·x^(n-2)|+...+|an|
≥ |a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an|.
由a0 > 0, 若x > 0, 则a0·x^n > 0, 有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an > 0.
由a0 > 0, n是奇数, 若x < 0, 则a0·x^n < 0, 有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an < 0.
而a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an关于x连续, 故存在零点.

另一种方法, 由代数基本定理, n次方程有n个复根.
而实系数一元多项式方程虚根成对, 但n是奇数, 故存在实根.