Question

求微分方程x^2ydx-(x^3+y^3)dy=0的通解

Answer 1

x^2ydx-(x^3+y^3)dy=0
变形：
dx/dy=x/y+(y/x)^2
设x/y=u,x=yu dx/dy=u+ydu/dy
u+ydu/dy=u+(1/u)^2
ydu/dy=(1/u)^2
u^2du=dy/y
通解u^3=3lny+lnC
(x/y)^3=e^(Cy^3)

Answer 2

x^2y/(x^3+y^3)=dy/dx

(y/x)/(1+(y/x)^3)=dy/dx 齐次方程
设k=y/x
dy=kdx+xdk
dy/dx=k+xdk/dx
(k/(1+k^3)-k)/dk=x/dx
两边同时积分
-（1+k^3)/k^4 dk=1/x dx
1/3k^3+lnk=lnx+C
x^3/3y^3+lny/x=lnx+C

Answer 3

令x/y=t dx=tdy+ydt
代入原式整理得
t^2dt=dy/y

t^3/3=ln|y|+ln|C|
t^3=3ln(Cy)
x^3/y^3=3ln(Cy)