Question

确定a、b的值使下图函数在x=0处连续且可导。

Answer 1

答：
当x=0时，f(0)=1+b
当x→0+时，f(x)→arcsin0=0
函数f(x)在x=0处连续当且仅当1+b=0，所以b=-1
当x≤0时，f'(x)=e^x，f'(0)=1
当x>0时，f'(x)=a/√(1-a²x²)；当x→0+时，f'(x)=a
函数f(x)在x=0处可导当且仅当1=a，所以a=1
所以a=1，b=-1.

Answer 2

a=1，b=-1

^是次方
先看连续，要求lim(x→0)f(x)存在，且lim(x→0)f(x)=f(0)
而lim(x→0)f(x)存在，要求lim(x→0-)f(x)=lim(x→0+)f(x)
lim(x→0-)f(x)=f(0)=e^0+b=b+1，lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)arcsin(ax)=arcsin0=0
所以b+1=0，即b=-1
而且此时lim(x→0)f(x)=lim(x→0-)f(x)=f(0)，f(x)在x=0处连续

再看可导，要求lim(x→0-)f'(x)=lim(x→0+)f'(x)
当x=0≤0，f'(x)=(e^x+b)'=e^x
所以lim(x→0-)f'(x)=lim(x→0)e^x=e^0=1
当x>0时，f'(x)=(arcsin(ax))'=a/√(1-x^2)
所以lim(x→0+)f'(x)=lim(x→0+)a/√(1-x^2)=a/√(1-0^2)=a
所以a=1