高数 不 定 积 分6
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令t² = x + 1、
则 dx = 2t dt
∫ 1/[x√(x + 1)] dx
原式= ∫ 1/[t(t² - 1)] * (2t dt)
= 2∫ 1/(t² - 1) dt
= ∫ [(t + 1) - (t - 1)]/[(t + 1)(t - 1)] dt
= ∫ [1/(t - 1) - 1/(t + 1)] dt
= ln|(t - 1)/(t + 1)| + C
回代
∫ 1/[x√(x + 1)] dx
= ln|[√(x + 1) - 1]/[√(x + 1) + 1]| + C
则 dx = 2t dt
∫ 1/[x√(x + 1)] dx
原式= ∫ 1/[t(t² - 1)] * (2t dt)
= 2∫ 1/(t² - 1) dt
= ∫ [(t + 1) - (t - 1)]/[(t + 1)(t - 1)] dt
= ∫ [1/(t - 1) - 1/(t + 1)] dt
= ln|(t - 1)/(t + 1)| + C
回代
∫ 1/[x√(x + 1)] dx
= ln|[√(x + 1) - 1]/[√(x + 1) + 1]| + C
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设 x=tan²t 1+x=1+tan²t =sec²t ,dx=2tant sec²t
原式=∫ 1/(tant.sect) 2 tant sec²t dt=2 ∫sect dt=2In|sect+tant|+c=2In|√(1-x)+√(x )|+c
原式=∫ 1/(tant.sect) 2 tant sec²t dt=2 ∫sect dt=2In|sect+tant|+c=2In|√(1-x)+√(x )|+c
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