Question

计算二重积分∫∫D xy dxdy，其中D是由直线y=2，y=x，xy=1所围成的区域。

Answer 1

首先画出积分区域，
x的取值范围是1/y到y，
而y的取值范围是1到2，
所以
∫∫D xy dxdy
=∫(上限2，下限1) y*dy ∫ (上限y，下限1/y) x*dx
显然
∫ (上限y，下限1/y) x*dx
= x²/2 (代入上限y，下限1/y)
=y²/2 -1/(2y²)
那么
∫∫D xy dxdy
=∫(上限2，下限1) y*[y²/2 -1/(2y²)]dy
=∫(上限2，下限1) [(y^3)/2 -1/2y]dy
=(y^4)/8 - (lny)/2 代入上限2，下限1
=15/8-1/2*ln2

Answer 2

∫ {1,2}ydy∫ {1/y,y}xdx=1/2*∫ {1,2}(y^3-1/y)dy
=1/2*[1/4*y^4-lny]{1,2}
=15/8-1/2*ln2