Question

已知在正整数列{an}中,前n项和Sn满足:4Sn=(an+1)²

1）{an}的通项公式
（2）设bn=an*a（n-1）角标，求数列{bn}的前n项和Tn
(3)是否存在自然数m,使得对任意n属于正整数，都有Tn>1/4（m-8）存在？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)由4Sn=(an+1)^2
得4S(n+1)=(a(n+1)+1)^2 两式相减
4a(n+1)=[a(n+1)+an+2]*[a(n+1)-an]
化简2(a(n+1)+an)=(a(n+1)+an)(a(n+1)-an)
因为{an}是 正项数列
所以a(n+1)-an=2 ,即数列是等差数列,公差是d=2.
在4Sn=(an+1)^2 中，令n=1 得到a1=1
所以an=1+2(n-1)=2n-1
(2)bn=ana(n-1)=4n^2-8n+3
Tn=4(1+2²+3²+...+n²)-8(1+2+3+...+n）+3n
=4[n(n+1)(2n+1)/6]-8[n(n+1)/2]+3n
=(1/3)n(4n²-6n-1）

Answer 2

(1)
∵4Sn=(an+1)²
∴4S(n+1)=[a(n+1)+1]²
两式相减：
4[S(n+1)-Sn]=[a(n+1)+1]²-(an+1)²
∴4a(n+1)=a²(n+1)+2a(n+1)+1-(an+1)²
∴a²(n+1)-2a(n+1)+1-(an+1)²=0
[a(n+1)-1]²-(an+1)²=0
∴[a(n+1)-an-2][a(n+1)+an]=0
∵an>0 ∴a(n+1)+an>0
∴a(n+1)-an-2=0
∴a(n+1)-an=2
∴{an}为等差数列，公差为2
又4a1=S1=(a1+1)²
∴a²1-2a1+1=0,a1=1
∴an=2n-1
(2)
bn=an*a(n-1)=(2n-1)(2n-3)
=4n²-8n+3
Tn=4(1²+2²+3²+.....+n²)+(-5-8n+3)*n/2
=4/6*n(n+1)(2n+1)-(4n+1)n
不对吧

总觉得应该是bn=1/[an*a(n-1)]呀
Tn=1/(-1×1)+1/(1×3)+1/(3×5)+.....+1/[(2n-3)(2n-1)]
=1/2[-1-1+1-1/3+1/3-1/5+.......+1/(2n-3)-1/(2n-1)]
=-1/2[1+1/(2n-1)]
(3)

∵1/(2n-1)>0
∴-1/2-1/(2n-1)>-1/2
若Tn>1/4（m-8）总成立
则需-1/2≥1/4（m-8)
∴m-8≤-2
∴m≤6
∴符合条件的m存在，m的最大值是6